Placement robuste et optimal de capteurs pour les problèmes inverses bayésiens non-linéaires

IFP Energies Nouvelles Group; Rueil-Malmaison; Sur place; EUR 12 000 - 21 000; Plein temps

Résumé du poste

IFP Energies Nouvelles Group recherche un stagiaire pour étudier une méthodologie ROED probabiliste appliquée aux problèmes inverses non linéaires et reproduire des cas jouets.

Le stage vise à comprendre l’architecture algorithmique, maîtriser le coût des EDP et évaluer la robustesse des solutions face aux paramètres de nuisance, avec une orientation pratique et des codes maison 1D/2D.

Qualifications

• Solides connaissances en probabilités, statistiques bayésiennes et optimisation continue.
• Notions en EDP et méthodes numériques (él. finis ou différences finies).
• Maîtrise d’un langage de programmation scientifique (Python, R, C, etc.).

Responsabilités

• Appropriation du cadre mathématique de l’inversion bayésienne en dimension infinie, utilisation de l’approximation de Laplace pour caractériser la mesure à posteriori.
• Implémentation du calcul de l’utilité = gain d’information attendu.
• Analyse de sensibilité par la méthode de l’adjoint pour évaluer le Hessien du coût.
• Développement d’une approximation de rang faible du Hessien pour accélérer le calcul du gain d’information.
• Mise en œuvre de l’algorithme ROED avec une distribution de Bernoulli sous contrainte budget.
• Résolution du max-min via l’algorithme de Polyak.
• Validation numérique sur des codes maison avec des modèles EDP simples 1D/2D.

Connaissances

Probabilités

Statistiques bayésiennes

Optimisation continue

Éléments finis

Différences finies

Python

R

C

Outils

Python

R

C

Description du poste

Placement robuste et optimal de capteurs pour les problèmes inverses bayésiens non-linéaires

Contexte et enjeux

L’optimisation du placement de capteurs (Optimal Experimental Design - OED) est une étape primordiale pour les problèmes inverses bayésiens, où l’on cherche à actualiser la connaissance de paramètres incertains en combinant des données expérimentales et un modèle physique, généralement régi par des équations aux dérivées partielles (EDP). Lorsque le modèle d’observation présente des incertitudes additionnelles (erreurs de modèle ou paramètres de nuisance), il est nécessaire de formuler un problème de conception d’expériences robuste (ROED) en adoptant une approche pire cas, c’est‑à‑dire une optimisation de type max‑min.

La résolution de ce problème combinatoire est extrêmement exigeante d’un point de vue calculatoire. Des approches récentes proposent de formuler ce problème d’optimisation de manière probabiliste pour les problèmes inverses linéaires avant d’être étendues aux cadres non‑linéaires en dimension infinie. Plus spécifiquement, la modélisation de la configuration des capteurs comme une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli conditionnelle permet d’utiliser des méthodes d’optimisation basées sur le gradient, garantissant le respect strict de la contrainte de budget sans avoir à recourir à des méthodes de pénalité.

Objectif du stage

L’objectif principal de ce stage est d’étudier cette nouvelle méthodologie de ROED probabiliste pour les problèmes inverses non‑linéaires [2] et de la reproduire intégralement sur des cas "jouets" maison.

Ce travail permettra de comprendre finement l’architecture algorithmique, de maîtriser le coût calculatoire lié aux EDP et d’évaluer la robustesse des solutions obtenues face aux paramètres de nuisance.

Travail demandé

L’étudiant(e) sera amené(e) à réaliser les tâches suivantes :

• Appropriation du cadre mathématique de l’inversion bayésienne en dimension infinie, incluant l’utilisation de l’approximation de Laplace pour la caractérisation de la mesure a posteriori.
• Implémentation du calcul de l’utilité, définie par le gain d’information attendu.
• Développement de l’analyse de sensibilité par la méthode de l’adjoint (incrément de l’état et de l’adjoint) pour évaluer de manière efficace le Hessien de la fonction coût.
• Mise en œuvre d’une approximation de rang faible du Hessien pour accélérer le calcul du gain d’information espéré.
• Développement de l’algorithme d’optimisation ROED en utilisant une formulation probabiliste où le budget maximal de capteurs est strictement géré par une distribution de Bernoulli conditionnelle.
• Résolution du problème d’optimisation de type pire cas (max‑min) via l’algorithme de Polyak.
• Validation numérique sur des codes maison appliqués à des modèles EDP simples en 1D ou 2D.

Pré-requis

Solides connaissances en mathématiques appliquées : probabilités, statistiques bayésiennes, et optimisation continue.

• Notions en équations aux dérivées partielles et en méthodes de résolution numérique (éléments finis ou différences finies).
• Maîtrise d’un langage de programmation scientifique (Python, R, C, etc.).